a) Ta có:

• E là trung điểm của AB nên OE song song với CN (do AB song song với CN và E là trung điểm của AB).
• Vậy tứ giác OCNE là tứ giác bình bì (do có hai cặp đường bình bì song song).
• Từ đó suy ra C,E,O,N cùng nằm trên một đường tròn (đường tròn bình bì của tứ giác OCNE).

b) Ta có:

• Tam giác ACB cân tại C nên đường trung tuyến CE của tam giác ACB là đường cao của tam giác ACB.
• Vậy ta có CA.CB = CE^2 + AE.EB = CE^2 + R^2 (do AB là đường chéo của hình tròn).
• Từ đó suy ra CN^2 = CE^2 + EN^2 = CE^2 + R^2 - NC^2 = CA.CB - NC^2 = CACB.

c) Ta có:

• Gọi K là giao điểm của CH và AB. Ta cần chứng minh ÔAB = CHA hay tam giác OAB đồng dạng với tam giác HCA.
• Ta có: ∠CAB = ∠CNB (do AB song song với CN và N thuộc cung 4B lớn) và ∠OAB = ∠NCB (do OA là tiếp tuyến của đường tròn tại A và ON là đường phân giác của góc BNO).
• Vậy tam giác OAB đồng dạng với tam giác CNB.
• Tương tự, ta có tam giác HCA đồng dạng với tam giác CNE.
• Vậy ta có tam giác OAB đồng dạng với tam giác HCA.
• Từ đó suy ra ÔAB = CHA.

d) Ta có:

• Tam giác ICD đồng dạng với tam giác INO (do có 2 cặp góc đồng nhau).
• Tương tự, ta có tam giác IHD đồng dạng với tam giác HNO.
• Vậy ta có IC/IN = ID/IO và IH/IN = HD/HO.
• Nhân hai phương trình này với nhau, ta được:

(IC/IN).(IH/IN) = (ID/IO).(HD/HO)

Tức là IC.DH = DC.IH.