a) Ta có $\angle MDC = \angle MAC = \angle MEC$ nên tứ giác MDEC nội tiếp.
Ta có $\angle MIA = \angle MDE = \angle MCE = \angle MCB = \angle MAB$ nên MI // AB.
b) Ta có $\angle AEM = \angle ACM = \angle MAB$ nên tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABC.
Do đó, $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AE}{AM}$ và $\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{IB}{AB} = 1 - \dfrac{IA}{AB} = 1 - \dfrac{AE}{AM} = \dfrac{AM - AE}{AM} = \dfrac{ME}{AM}$.
Vậy $AB.AI = AB \cdot \dfrac{ME}{AM} = AE \cdot \dfrac{AB}{AM} = AE \cdot \dfrac{AC}{AD}$.
Ta có $\angle NMF = \angle NMB + \angle BMF = \angle AMB + \angle CMA = 180^\circ - \angle ACB$ nên N, M, F thẳng hàng.
Gọi K là trung điểm của AB, ta có $\angle HKB = \angle HNF = 90^\circ$ nên H nằm trên đường trung trực của AB.
Tương tự, ta chứng tỏ H nằm trên đường trung trực của AC.
Vậy H là trực tâm của tam giác AABC.