a) Chứng minh BMHE nội tiếp

Ta có $\angle BMN = 90^{\circ}$ và $\angle BEN = \angle BDN = \angle BAC$ (do $ABCD$ là tứ giác nội tiếp). Vậy $\angle BMH = \angle BEN = \angle BDN = \angle BME$, suy ra $BMHE$ nội tiếp.

b) Chứng minh B, H, D thẳng hàng

Từ a), ta có $\angle BMH = \angle BEH = \angle BCD$. Mà $ABCD$ là tứ giác nội tiếp, nên $\angle BCD = \angle BAD$. Vậy $\angle BMH = \angle BAD$. Nhưng $\angle BAD = \angle BHD$ (do $AB \parallel CH$), suy ra $B, H, D$ thẳng hàng.

c) Tính giá trị biểu thức BN^2+AD.AC theo R

Ta có $BN = R - OM$ và $AD = 2R \sin \angle BAD = 2R \sin \angle BCD = 2R \sin \angle BCE = 2R \cdot \frac{BE}{BC}$. Do $ABCD$ là tứ giác nội tiếp, nên $AD \cdot AC = BD \cdot CD = R^2 - OM^2$. Suy ra:

Như vậy, giá trị của biểu thức cần tính là $R^2 + 2R \cdot BE$.

d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC cắt AB tại K. Chứng minh khi E di động trên cung NB thì độ dài đoạn thẳng BK không đổi

Ta có $\angle BHK = \angle BCD = \angle BAD$, suy ra $BK$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$. Vậy $BK$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$. Do đó, khi $E$ di động trên cung $NB$, thì $D$ di chuyển trên cung $NB$ tương ứng, suy ra $BK$ không đổi.