Gọi $S_{ABC}$ là diện tích tam giác $ABC$, $S_{MON}$ là diện tích tam giác $MON$.

Ta có $S_{MON} = \dfrac{1}{2} MO \cdot ON = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} AM \cdot \dfrac{1}{2} BN = \dfrac{1}{8} S_{ABC}$. Từ đó suy ra $S_{ABC} = 8S_{MON} = 8 \cdot 20 = 160$ (cm$^2$).

Vậy diện tích tam giác $ABC$ là $160$ (cm$^2$).