Để chứng minh rằng n^3 + 1964n chia hết cho 48 với mọi n chẵn, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh qua định lý.

Định lý: Cho a, b, c, d là các số nguyên. Nếu a ≡ b (mod c) và d ≡ b (mod c), thì a + d ≡ b (mod c).

Ta có:
n^3 ≡ n (mod 3) (1)
n^3 ≡ n (mod 8) (2)

Để chứng minh (1), ta sử dụng định lý Fermat nhỏ:
n^3 ≡ n (mod 3)
Vì n chẵn, nên ta có 2 trường hợp:
- Nếu n ≡ 0 (mod 3), thì n^3 ≡ 0 (mod 3) và n ≡ 0 (mod 3), nên n^3 ≡ n (mod 3).
- Nếu n ≡ 2 (mod 3), thì n^3 ≡ 8 ≡ 2 (mod 3) và n ≡ 2 (mod 3), nên n^3 ≡ n (mod 3).

Để chứng minh (2), ta sử dụng định lý Euler:
n^φ(8) ≡ 1 (mod 8)
Với mọi số nguyên dương n, φ(8) = 8 * (1 - 1/2) = 4
n^4 ≡ 1 (mod 8)
n^3 * n ≡ 1 (mod 8)
n^3 ≡ n^-1 (mod 8)
Vì n là số chẵn, nên ta có 2 trường hợp:
- Nếu n ≡ 0 (mod 8), thì n^3 ≡ 0 (mod 8) và n ≡ 0 (mod 8), nên n^3 ≡ n (mod 8).
- Nếu n ≡ 4 (mod 8), thì n^3 ≡ 64 ≡ 0 (mod 8) và n ≡ 4 (mod 8), nên n^3 ≡ n (mod 8).

Từ (1) và (2), ta có:
n^3 ≡ n (mod 3)
n^3 ≡ n (mod 8)

Áp dụng định lý, ta có:
n^3 + 1964n ≡ n + 1964n ≡ 1965n ≡ 5n (mod 3)
n^3 + 1964n ≡ n + 1964n ≡ 1965n ≡ 5n (mod 8)

Ta thấy rằng 5n chia hết cho cả 3 và 8, nên n^3 + 1964n chia hết cho 3 và 8.

Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên theo định lý nhỏ của Fermat, ta có:
n^3 + 1964n ≡ 0 (mod 3 * 8)
n^3 + 1964n chia hết cho 24.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng n^3 + 1964n chia hết cho 48 với mọi n chẵn.