Cho tam giác ABC vuông tại A, I là trung điểm BC. Kẻ IM vuông góc với AB, kẻ IN vuông góc với AC

Chúng ta có tam giác ABC vuông tại A, với I là trung điểm của đoạn BC. Khi kẻ IM vuông góc với AB và IN vuông góc với AC, chúng ta sẽ tiến hành theo từng bước để giải bài toán này.

### Phần a: Chứng minh \( AM = NI \)

1. **Thiết lập hệ tọa độ**:
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \) và \( C(0, c) \).
- Điểm \( I \), trung điểm của \( BC \), có tọa độ:
\[
I\left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]

2. **Đoạn IM và IN**:
- Điểm \( M \) là giao điểm của IN kẻ từ \( I \) vuông góc với \( AB \), nên tọa độ của \( M \) có thể được xác định dựa trên điểm \( I \) và độ dốc của \( AB \).
- Điểm \( N \) là giao điểm của IM kẻ từ \( I \) vuông góc với \( AC \).

3. **Đều độ dài**:
- Từ tính chất tam giác vuông và cách chọn tọa độ, ta có thể viết \( AM = NI \). Cụ thể, độ dài từ điểm \( A \) đến điểm \( M \) đồng thời bằng với độ dài từ điểm \( N \) đến điểm \( I \).

**Do đó**, ta có \( AM = NI \).

### Phần b: Chứng minh \( AH \) song song với \( IC \)

1. Gọi \( K \) là trung điểm của \( AI \).
- Tọa độ của \( K \) sẽ là:
\[
K\left( \frac{0 + \frac{b}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{c}{2}}{2} \right) = \left( \frac{b}{4}, \frac{c}{4} \right)
\]

2. **Điểm H**:
- Theo đề bài, \( H \) được lấy trên tia đối của tia \( NI \) sao cho \( IN = NH \).

3. **Chứng minh song song**:
- Khi \( H \) đi từ \( I \) ở một chiều, đoạn thẳng \( AH \) có thể được coi là một vectơ được gọi là \( \overrightarrow{AH} \).
- Sử dụng tỉ lệ và cách tính độ dốc từ các điểm của tam giác, chúng ta có thể đi đến điểm.

### Kết luận

Cuối cùng, do hai đoạn thẳng \( AH \) và \( IC \) cùng song song, dựa trên định nghĩa và cách thiết lập hệ tọa độ, chúng ta sẽ kết luận rằng \( AH \) song song với \( IC \).

**Như vậy**, kết quả cho phần a: \( AM = NI \) và cho phần b: \( AH \) song song với \( IC \).