Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học tam giác và đường phân giác.

Gọi I là giao điểm của đường phân giác trong tam giác ABC với cạnh BC. Ta cần chứng minh rằng đường thẳng MN cắt đường phân giác trong tại I.

Vì MN // BC và NM = BC, ta có thể suy ra tam giác MNB cân tại N. Do đó, ta có NB = NM.

Gọi P là giao điểm của đường thẳng MN với đường phân giác trong. Ta cần chứng minh rằng P trùng với I.

Vì MN // BC, ta có:
∠PBC = ∠MNB (do cùng chắn cung MN trên đường tròn (MNB))
∠PBC = ∠NMB (do tam giác MNB cân tại N)
∠PBC = ∠NAB (do AB // MN)
∠PBC = ∠IAB (do I là giao điểm của đường phân giác trong với cạnh BC)
Vậy ta có ∠PBC = ∠IAB.

Tương tự, ta có:
∠PCB = ∠IAC.

Từ hai phương trình trên, ta suy ra ∠PBC = ∠PCB, tức tam giác PBC là tam giác cân. Do đó, ta có PB = PC.

Vậy ta có PB = PC = NB = NM.

Từ đó, ta suy ra P trùng với I, tức đường thẳng MN cắt đường phân giác trong tại I.

Vậy ta đã chứng minh được rằng đường thẳng MN cắt đường phân giác trong tại I.