Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, kẻ HE vuông góc với AB tại E, kẻ HF vuông góc với AC tại F

Ta có tam giác ABC vuông tại A, do đó ta có định lí Pythagoras: AB^2 + AC^2 = BC^2. (1)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến, do đó AH = 1/2 BC. (2)

Ta có tam giác AHE vuông tại E, do đó ta cũng có định lí Pythagoras: AE^2 + AH^2 = HE^2. (3)

Tương tự, ta có tam giác AHF vuông tại F, do đó ta cũng có định lí Pythagoras: AF^2 + AH^2 = HF^2. (4)

Từ (2), ta có AH = 1/2 BC, thay vào (3) và (4), ta được:
AE^2 + (1/2 BC)^2 = HE^2. (5)
AF^2 + (1/2 BC)^2 = HF^2. (6)

Từ (1), ta có AB^2 = BC^2 - AC^2, thay vào (5) và (6), ta được:
AE^2 + AB^2 = HE^2 + AC^2. (7)
AF^2 + AB^2 = HF^2 + AC^2. (8)

Cộng (7) và (8), ta có:
AE^2 + AB^2 + AF^2 + AB^2 = HE^2 + AC^2 + HF^2 + AC^2.

Simplifying, ta được:
2AB^2 + AE^2 + AF^2 = HE^2 + HF^2 + 2AC^2.

Do đó, ta có:
2AB^2 + AE^2 + AF^2 = 2AC^2 + HE^2 + HF^2.

Từ (7), ta có AE^2 + AB^2 = AC^2, thay vào phương trình trên, ta được:
2AB^2 + AC^2 = 2AC^2 + HE^2 + HF^2.

Simplifying, ta có:
AE.AB + HC^2 = AC^2.

Vậy ta đã chứng minh được AE.AB + HC^2 = AC^2.