a) Ta có e là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC. Vì vậy, ta có AE = ED và BF = FC.
Vì e là trung điểm của AD, nên AE = ED. Tương tự, vì F là trung điểm của BC, nên BF = FC.
Do đó, ta có AE = ED = BF = FC.
Vậy, ta có BE = AE + BF = ED + FC = DF.
Vì vậy, BE = DF.

Để chứng minh góc ABD = CBF, ta sẽ sử dụng các đường chéo của hình bình hành ABCD.
Gọi M là giao điểm của AC và BD.
Ta có AM = MC và BM = MD (do đường chéo chia hình bình hành thành hai phần bằng nhau).
Vì e là trung điểm của AD, nên AM = ME và MD = DE.
Tương tự, vì F là trung điểm của BC, nên BM = MF và MC = CF.
Do đó, ta có AM = ME = BM = MF và MC = CF = MD = DE.
Vậy, ta có hai tam giác AME và BMF là hai tam giác đồng dạng (có cạnh bằng nhau).
Vì vậy, ta có góc AEM = góc BFM.
Nhưng góc AEM = góc ABD và góc BFM = góc CBF (do BM // CF).
Vậy, ta có góc ABD = góc CBF.

b) Để chứng minh BE // DF, ta sẽ sử dụng các đường chéo của hình bình hành ABCD.
Gọi M là giao điểm của AC và BD.
Ta đã chứng minh ở phần a) rằng hai tam giác AME và BMF là hai tam giác đồng dạng.
Vì vậy, ta có góc AEM = góc BFM.
Nhưng góc AEM = góc AED (do AE // BM) và góc BFM = góc BFC (do BM // CF).
Vậy, ta có góc AED = góc BFC.
Do đó, ta có BE // DF.