Để chứng tỏ rằng tồn tại số có dạng 2022202220222022.....2022 chia hết cho 2023, ta cần chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương n sao cho số này chia hết cho 2023.

Ta xét số có dạng S = 2022202220222022.....2022, với n chữ số 2022. Ta cần chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương n sao cho S chia hết cho 2023.

Để làm điều này, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Ta xét số nguyên tố p = 2023. Vì 2022 không chia hết cho 2023, theo định lý Fermat nhỏ, ta có 2022^(2023-1) ≡ 1 (mod 2023).

Ta có: 2022^(2023-1) = 2022^2022 = (2022^2)^1011 = (4088484)^1011.

Ta thấy rằng 4088484 = 2022 * 2023 + 1, nên (4088484)^1011 ≡ (2022 * 2023 + 1)^1011 ≡ 1^1011 ≡ 1 (mod 2023).

Vậy, ta có 2022^(2023-1) ≡ 1 (mod 2023), tức là S ≡ 1 (mod 2023).

Do đó, tồn tại số có dạng 2022202220222022.....2022 chia hết cho 2023.