Để chứng minh A < 4/5, ta cần chứng minh rằng tổng các phân số 1/n từ n = 31 đến n = 60 nhỏ hơn 4/5.

Ta có:
A = 1/31 + 1/32 + 1/33 + ... + 1/59 + 1/60

Để dễ tính toán, ta sẽ chia tử số và mẫu số của các phân số cho 60:

A = (1/31)/60 + (1/32)/60 + (1/33)/60 + ... + (1/59)/60 + (1/60)/60
= 1/(31*60) + 1/(32*60) + 1/(33*60) + ... + 1/(59*60) + 1/(60*60)

Ta thấy rằng mẫu số của các phân số đều lớn hơn 60, nên ta có thể viết lại A như sau:

A = 1/(31*60) + 1/(32*60) + 1/(33*60) + ... + 1/(59*60) + 1/(60*60)
< 1/(30*60) + 1/(30*60) + 1/(30*60) + ... + 1/(30*60) + 1/(30*60)
= 30/(30*60)
= 1/60

Vậy ta có A < 1/60.

Để chứng minh A < 4/5, ta cần chứng minh rằng 1/60 < 4/5.

Ta có: 1/60 = 1/5 * 1/12 < 1/5 * 1/10 = 1/50 < 4/5.

Vậy ta kết luận được rằng A < 4/5.