Để chứng minh a), ta sử dụng định lí Ptolemy trong tam giác vuông MAB và MCD:
Trong tam giác vuông MAB, ta có:
MA^2 + MB^2 = AB^2
Trong tam giác vuông MCD, ta có:
MC^2 + MD^2 = CD^2
Áp dụng định lí Ptolemy trong tứ giác MABD, ta có:
MA * BD + MB * AD = AB * MD
Vì AB và CD vuông góc với nhau nên AD và BD cùng là đường kính của đường tròn (O;R). Vì vậy, AD = BD = 2R.
Thay vào công thức trên, ta có:
MA * 2R + MB * 2R = AB * MD
=> MA + MB = AB * MD / (2R)
Tương tự, áp dụng định lí Ptolemy trong tứ giác MCDB, ta có:
MC * BD + MD * BC = CD * MB
=> MC + MD = CD * MB / (2R)
Cộng hai phương trình trên, ta được:
MA + MB + MC + MD = AB * MD / (2R) + CD * MB / (2R)
= (AB * MD + CD * MB) / (2R)
= (AB * MD + AB * MC) / (2R)
= AB * (MD + MC) / (2R)
= AB * CD / (2R)
Vì AB và CD vuông góc với nhau nên AB * CD = 2R * 2R = 4R^2
Vậy MA + MB + MC + MD = 4R^2, hay MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 = 4R^2.

Để chứng minh b), ta sử dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông MAB và MCD:
Trong tam giác vuông MAB, ta có:
AB^2 = MA^2 + MB^2
Trong tam giác vuông MCD, ta có:
CD^2 = MC^2 + MD^2
Cộng hai phương trình trên, ta được:
AB^2 + CD^2 = MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2
Vì MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 = 4R^2 (theo phần a)), nên:
AB^2 + CD^2 = 4R^2
Tổng AB^2 + CD^2 luôn bằng 4R^2, không phụ thuộc vào việc các dây AB và CD thay đổi và luôn vuông góc với nhau tại M.