Để chứng minh rằng hàm số đã cho là hàm số bậc nhất và đồng biến, ta cần chứng minh rằng đạo hàm của hàm số là một hằng số dương.

Để tính đạo hàm của hàm số, ta sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm tổng, tích và hàm mũ.

Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số m^2 - m + 1 theo m:
dy/dm = d/dm (m^2 - m + 1)
= d/dm (m^2) - d/dm (m) + d/dm (1)
= 2m - 1 + 0
= 2m - 1

Tiếp theo, ta tính đạo hàm của hàm số (m^2 - m + 1) x + m theo x:
dy/dx = d/dx [(m^2 - m + 1) x + m]
= (m^2 - m + 1) d/dx (x) + d/dx (m)
= (m^2 - m + 1) + 0
= m^2 - m + 1

Vậy, đạo hàm của hàm số là m^2 - m + 1.

Để chứng minh rằng đạo hàm của hàm số là một hằng số dương, ta cần chứng minh rằng m^2 - m + 1 > 0 với mọi giá trị của m.

Để giải phương trình m^2 - m + 1 = 0, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
m = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Áp dụng vào phương trình m^2 - m + 1 = 0, ta có:
m = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4(1)(1))) / (2(1))
= (1 ± √(1 - 4)) / 2
= (1 ± √(-3)) / 2

Vì √(-3) là một số ảo, nên phương trình m^2 - m + 1 = 0 không có nghiệm thực.

Vậy, m^2 - m + 1 > 0 với mọi giá trị của m.

Do đó, đạo hàm của hàm số là một hằng số dương, tức là hàm số đã cho là hàm số bậc nhất và đồng biến với mọi giá trị của m.