Để chứng minh tứ giác AECF là hình thoi, ta cần chứng minh rằng các đường chéo AC và EF cắt nhau vuông góc và có độ dài bằng nhau.

Vẽ hình bình hành ABCD, với AC vuông góc với AD. Gọi M là trung điểm của AC.

Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB. (1)
Vì F là trung điểm của CD nên CF = FD. (2)

Ta có: AM = MC (vì M là trung điểm của AC)
Và AM // CF (vì AM và CF đều song song với AD)
Do đó, ta có tam giác AMF và tam giác CMA là hai tam giác đồng dạng (theo góc).

Từ đó, ta có: MF/MA = AC/CM (3)

Tương tự, ta có tam giác AEM và tam giác CME là hai tam giác đồng dạng (theo góc).
Từ đó, ta có: ME/MA = AC/CM (4)

Từ (3) và (4), ta có: MF/MA = ME/MA
Simplifying, ta có: MF = ME

Vậy, EF = MF + ME = 2MF = 2ME

Vì AC vuông góc với AD, nên tam giác AMC là tam giác vuông tại M.
Do đó, ta có: góc AMC = 90 độ.

Vì tam giác AMF và tam giác CMA là hai tam giác đồng dạng (theo góc), nên góc MAF = góc MAC.

Vì góc MAC = góc MAF và góc AMC = 90 độ, nên góc MAF = 90 độ.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng đường chéo AC và EF cắt nhau vuông góc và có độ dài bằng nhau.

Vậy, tứ giác AECF là hình thoi.