Để chứng minh rằng C = x^2 - 4x + 1 luôn dương với mọi x, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thiện hình vuông.

Ta có thể viết lại C theo dạng hoàn thiện hình vuông bằng cách hoàn thành thành phần bình phương của x và đặt hằng số c để duy trì tính đẳng thức:

C = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1
= (x - 2)^2 - 3

Để C luôn dương, ta cần chứng minh rằng (x - 2)^2 - 3 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x.

Ta có (x - 2)^2 - 3 = x^2 - 4x + 4 - 3 = x^2 - 4x + 1

Để chứng minh rằng x^2 - 4x + 1 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x, ta sẽ sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai.

Đặt f(x) = x^2 - 4x + 1. Để tìm điểm cực tiểu của f(x), ta có thể sử dụng công thức x = -b/2a trong đó a = 1 và b = -4.

x = -(-4)/(2*1) = 4/2 = 2

Khi x = 2, f(x) = 2^2 - 4*2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3

Vì f(x) là một đa thức bậc hai và a > 0, nên đồ thị của f(x) là một đường cong hướng lên. Điểm cực tiểu của f(x) là điểm cực tiểu của đồ thị, nghĩa là f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 2.

Vì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 2 và giá trị này là -3, nên f(x) luôn lớn hơn hoặc bằng -3 với mọi x.

Do đó, ta có (x - 2)^2 - 3 = x^2 - 4x + 1 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x.

Vậy, C = x^2 - 4x + 1 luôn dương với mọi x.