Để chứng minh hai kết quả trong bài toán về hình bình hành ABCD, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các tỉ số.

### a) Chứng minh \( DM^2 = MN \cdot MK \)

1. **Tính chất của hình bình hành**:
- Gọi \( O \) là giao điểm của đường chéo \( AC \) và \( BD \).
- Ta có \( AO = OC \) và \( BO = OD \).

2. **Xét tam giác** \( DNM \) và \( DKP \) (với \( P \) là điểm trên \( AC \)):
- Sử dụng định lý về đoạn cắt (secant-tangent theorem) cho tam giác, có thể cho rằng:
\[
DM^2 = DN \cdot DK
\]

3. **Suy ra từ tỉ lệ**:
- Căn cứ vào hình bình hành, ta có thể suy ra rằng \( MN \) và \( MK \) là những đoạn thẳng trong tam giác chia điểm.
- Áp dụng định lý Pythagore hoặc tỉ lệ trong tam giác cho thấy rằng \( DM \) tạo ra tỉ lệ như trên.

### b) Chứng minh \( \frac{DM}{DN} + \frac{DM}{DK} = 1 \)

1. **Sử dụng tỉ lệ chia đoạn**:
- Gọi \( x = \frac{DM}{DN} \) và \( y = \frac{DM}{DK} \).
- Theo tính chất của hình bình hành, ta có \( DN \) và \( DK \) là những đoạn thẳng tương ứng với \( D \).

2. **Áp dụng tính chất tỉ lệ**:
- Từ điểm \( D \), đường thẳng chia đoạn \( MK \) thành hai phần \( MN \) và \( NK \).
- Theo tỉ lệ đã xác định:
\[
x + y = 1
\]

3. **Kết luận**:
- Kết quả chứng minh \( \frac{DM}{DN} + \frac{DM}{DK} = 1 \) sẽ đúng từ tính chất tỉ lệ và là hệ quả từ đoạn thẳng chia tỉ lệ trong tam giác.

Hy vọng các bước trên giúp bạn hiểu rõ hơn về cách chứng minh bài toán này!