Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí về tam giác và hình học.

1. Chứng minh h m || ed:
Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao AH là đường vuông góc với BC. Mà ha = ha (do đã cho), nên tam giác AHA' cân tại A'. Do đó, A'H là đường cao của tam giác AHA'. Mà AH || BC (do tam giác ABC vuông tại A), nên A'H || BC. Tương tự, ta có A'M || BC. Vậy h m || ed.

2. Chứng minh HM = 1/2ed:
Gọi I là giao điểm của HM và ed. Ta cần chứng minh HI = 1/2ed.
Ta có HI || BC (do h m || ed), nên tam giác HMI và tam giác ABC đồng dạng. Do đó, ta có:
HM/AB = MI/AC
HM/AB = 1/2 (vì M là trung điểm của BC)
MI/AC = 1/2 (vì tam giác HMI và tam giác ABC đồng dạng)
Từ đó, ta suy ra HM = 1/2ed.

3. Chứng minh ABDC là hình chữ nhật:
Ta đã chứng minh rằng h m || ed. Vậy, ta có AB || DC (do AB và DC là hai đường chéo của hình chữ nhật). Ta cũng đã chứng minh rằng HM = 1/2ed. Vậy, ta có HM = 1/2DC (do HM và DC là hai đường chéo của hình chữ nhật). Từ đó, ta suy ra ABDC là hình chữ nhật.

4. Chứng minh EP cắt AD tại K và DE = DK:
Gọi K là giao điểm của EP và AD. Ta cần chứng minh DE = DK.
Ta có EP || BC (do ABDC là hình chữ nhật), nên tam giác EPD và tam giác ABC đồng dạng. Do đó, ta có:
DE/AB = DK/AC
DE/AB = DK/AC (vì tam giác EPD và tam giác ABC đồng dạng)
Từ đó, ta suy ra DE = DK.

5. Chứng minh ba điểm H, P, Q thẳng hàng:
Ta đã chứng minh rằng ABDC là hình chữ nhật, nên AH || BC. Vậy, ta có AH || PQ (do PQ là chiếu của E lên BD). Mà ta đã chứng minh rằng h m || ed, nên PQ || ed. Vậy, ta có AH || PQ || ed. Từ đó, ta suy ra ba điểm H, P, Q thẳng hàng.