Để giải phương trình này, ta bắt đầu bằng cách đặt một biến tạm thời để giải quyết phương trình căn bậc hai. Gọi \(y = \sqrt{7-x}\), ta có \(y^2 = 7-x\).

Thay \(y\) vào phương trình ban đầu, ta được:
\(y + \sqrt{x-5} = x^2 - 12x + 38\).

Tiếp theo, ta bình phương cả hai vế của phương trình để loại bỏ căn bậc hai:
\((y + \sqrt{x-5})^2 = (x^2 - 12x + 38)^2\).

Mở ngoặc và rút gọn, ta có:
\(y^2 + 2y\sqrt{x-5} + x - 5 = x^4 - 24x^3 + 212x^2 - 912x + 1444\).

Do \(y^2 = 7-x\), ta có thể thay thế vào phương trình trên:
\(7-x + 2\sqrt{x-5}(\sqrt{7-x}) + x - 5 = x^4 - 24x^3 + 212x^2 - 912x + 1444\).

Rút gọn, ta được:
\(2\sqrt{x-5}\sqrt{7-x} = x^4 - 24x^3 + 212x^2 - 912x + 1444 - 2\).

Tiếp theo, ta bình phương cả hai vế của phương trình để loại bỏ căn bậc hai:
\((2\sqrt{x-5}\sqrt{7-x})^2 = (x^4 - 24x^3 + 212x^2 - 912x + 1442)^2\).

Mở ngoặc và rút gọn, ta có:
\(4(x-5)(7-x) = x^8 - 48x^7 + 616x^6 - 3360x^5 + 8408x^4 - 10064x^3 + 5792x^2 - 1444x + 1444\).

Tiếp theo, ta rút gọn và đưa các thành phần về cùng một bên để tạo thành một phương trình bậc tám:
\(x^8 - 48x^7 + 616x^6 - 3360x^5 + 8408x^4 - 10064x^3 + 5792x^2 - 1444x + 1444 - 4(x^2 - 12x + 35) = 0\).

Rút gọn, ta có:
\(x^8 - 48x^7 + 616x^6 - 3360x^5 + 8408x^4 - 10064x^3 + 5792x^2 - 1444x + 1404 = 0\).

Phương trình này là một phương trình bậc tám, không thể giải bằng phép tính đơn giản. Do đó, không có giải phương trình.