Chứng minh đẳng thức

Để chứng minh phương trình trên, ta sẽ chia cả hai vế của phương trình cho 2sinx:

\(\frac{{2\sin(x)}} = 3\sin(3x)\)

Tiếp theo, ta sẽ sử dụng công thức biến đổi sin(3x) thành sin(x) và cos(2x):

\(\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)\)

Thay vào phương trình ban đầu:

\(\frac{{2\sin(x)}} = 3(3\sin(x) - 4\sin^3(x))\)

Rút gọn:

\(\frac{{2\sin(x)}} = 9\sin(x) - 12\sin^3(x)\)

Nhân cả hai vế của phương trình với 2sin(x):

\(5 - 4\cos(2x) = 18\sin^2(x) - 24\sin^4(x)\)

Sử dụng công thức \(\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)\):

\(5 - 4(1 - 2\sin^2(x)) = 18\sin^2(x) - 24\sin^4(x)\)

Rút gọn:

\(5 - 4 + 8\sin^2(x) = 18\sin^2(x) - 24\sin^4(x)\)

\(8\sin^2(x) - 18\sin^2(x) + 24\sin^4(x) = 0\)

\(24\sin^4(x) - 10\sin^2(x) = 0\)

Chia cả hai vế cho 2sin^2(x):

\(12\sin^2(x) - 5 = 0\)

\(12\sin^2(x) = 5\)

\(\sin^2(x) = \frac{5}{12}\)

\(\sin(x) = \pm \sqrt{\frac{5}{12}}\)

Vậy, phương trình đã được chứng minh.