Chứng minh BDFE là hình bình hành; b) Chứng minh tứ giác ADEF là hình chữ nhật

a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC. Vì tam giác ABC vuông tại A nên AH cũng là đường phân giác của góc BAC. Do đó, AH chia BC thành hai đoạn bằng nhau, tức là BH = CH.

Vì AE là trung tuyến của tam giác ABC, nên AE song song với BC và có độ dài bằng một nửa độ dài BC. Do đó, AE cũng chia BC thành hai đoạn bằng nhau, tức là BE = EC.

Vậy, ta có BH = CH và BE = EC. Khi đó, ta có thể kết luận rằng tứ giác BDFE là hình bình hành.

b) Ta đã chứng minh được tứ giác BDFE là hình bình hành. Vì đường chéo BD của hình bình hành BDFE là đường cao AH của tam giác ABC, nên BD vuông góc với AE. Tương tự, đường chéo BE của hình bình hành BDFE là đường cao AH của tam giác ABC, nên BE vuông góc với AE.

Vậy, tứ giác ADEF có cạnh AD vuông góc với cạnh AE và cạnh AD bằng cạnh AE. Khi đó, tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

c) Ta đã chứng minh được tứ giác ADEF là hình chữ nhật. Vì ADEF là hình chữ nhật, nên các cạnh đối diện của nó bằng nhau và vuông góc với nhau.

Vì BF là đường cao của tam giác ABC, nên BF vuông góc với AC. Tương tự, DF là đường cao của tam giác ABC, nên DF vuông góc với AB.

Vậy, tứ giác DFEH có hai cạnh đối diện DF và EH vuông góc với nhau và bằng nhau. Khi đó, tứ giác DFEH là hình thang cân.

d) Gọi M là trung điểm của EM và N là trung điểm của BN. Ta cần chứng minh A, N, M thẳng hàng.

Vì E là trung điểm của AC, nên EM song song với AB và có độ dài bằng một nửa độ dài AB. Tương tự, F là trung điểm của BC, nên FN song song với AC và có độ dài bằng một nửa độ dài AC.

Vì FN song song với AC và EM song song với AB, nên FNEM là hình bình hành. Khi đó, ta có FN = EM.

Vì F là trung điểm của BN, nên FN = FM. Khi đó, ta có FN = FM = EM.

Vậy, ta có A, N, M thẳng hàng.