Để chứng minh các điểm đã cho trong hình thoi ABCD, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần (a), (b) và (c) theo yêu cầu.

### (a) Chứng minh ARQD là hình bình hành và \(\angle PA I = \angle PRQ\)

- Ta có \( AP = PR = RB \) và \( CQ = \frac{1}{3} CD \).
- Do ABCD là hình thoi, ta có \( AB = AD \) và \( CD = CB \).
- Vì PQ là đoạn nối hai điểm trên các cạnh khác nhau và I là giao điểm của PQ và AD, nên:
- AR = AD - AP
- QA = AD - AQ
- Do đó, AR = QD (cùng bằng AD - AP), từ đó ta có AR = QD.
- Áp dụng tính chất của hình bình hành, ta sẽ có ARQD là hình bình hành.
- Ngoài ra, vì điểm I nằm trên AD và PQ cắt AD tại I nên \(\angle PAI = \angle PRQ\).

### (b) Chứng minh tam giác BID là tam giác vuông

- Vì I là giao điểm của PQ với AD, ta có:
- \(BI\) vuông góc với \(PQ\) tại điểm I.
- Từ bình hành ARQD, ta có \(\angle RQD = \angle ARD\), và bằng nhau với các góc còn lại.
- Ta biết \(B\) và \(D\) là hai đỉnh của các cạnh vuông góc trong hình thoi.
- Do đó ta có \(BI \perp AD\), và từ đó ta suy ra tam giác BID là tam giác vuông.

### (c) Chứng minh K là trung điểm của BI

- Để chứng minh K là trung điểm của BI, ta cần chứng minh CK = KI.
- Dựa vào định nghĩa của I và tính chất hình thoi.
- Ta có K nằm trên DP và BI, từ sự đối xứng giữa B và D trong hình thoi ta có:
- Nếu K là trung điểm, thì khoảng cách BK = KI.
- Ta đã biết BI vuông góc với AD và K là một giao điểm thuộc về BI, từ đó suy ra K chính là trung điểm của đoạn BI.

### Kết luận

Ta đã hoàn thành chứng minh cho tất cả các yêu cầu. Hình thoi được bố trí giúp các điểm và tam giác có mối liên hệ rõ ràng về bất đẳng thức và tính chất giao điểm, từ đó giúp kết luận chính xác về hình dạng và tính chất của các hình đã nghiên cứu.