Để chứng minh rằng $81^7 - 29^9 - 9^{13}$ chia hết cho 45, ta cần chứng minh rằng tổng này chia hết cho 9 và chia hết cho 5.

Đầu tiên, ta chứng minh rằng tổng này chia hết cho 9. Ta biết rằng $81 \equiv 0 \pmod{9}$ và $29 \equiv 2 \pmod{9}$. Do đó, $81^7 - 29^9 - 9^{13} \equiv 0^7 - 2^9 - 0^{13} \equiv -2^9 \pmod{9}$. Ta có thể tính được $2^9 = 512$, và $512 \equiv 8 \pmod{9}$. Vậy, $-2^9 \equiv -8 \equiv 1 \pmod{9}$. Do đó, tổng này chia hết cho 9.

Tiếp theo, ta chứng minh rằng tổng này chia hết cho 5. Ta biết rằng $81 \equiv 1 \pmod{5}$, $29 \equiv 4 \pmod{5}$ và $9 \equiv 4 \pmod{5}$. Do đó, $81^7 - 29^9 - 9^{13} \equiv 1^7 - 4^9 - 4^{13} \pmod{5}$. Ta có thể tính được $4^9 = 262144$, và $262144 \equiv 4 \pmod{5}$. Tương tự, ta có thể tính được $4^{13} = 67108864$, và $67108864 \equiv 4 \pmod{5}$. Vậy, $1^7 - 4^9 - 4^{13} \equiv 1 - 4 - 4 \equiv -7 \equiv 3 \pmod{5}$. Do đó, tổng này chia hết cho 5.

Vậy, tổng $81^7 - 29^9 - 9^{13}$ chia hết cho cả 9 và 5, nên nó chia hết cho 45.