Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Kẻ MD vuông góc AB (D thuộc AB), ME vuông góc AC (E thuộc AC). Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

a) Tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của tứ giác ADME bằng nhau và hai đường chéo của tứ giác ADME cắt nhau vuông góc.

- Cặp cạnh đối nhau AM và DE bằng nhau vì AM là trung tuyến của tam giác ABC, nên AM = MB = MC = ME. Từ đó, ta có AM = ME.

- Cặp cạnh đối nhau AD và ME bằng nhau vì AD vuông góc AB và ME vuông góc AC, nên theo định lý cạnh đối nhau của tam giác vuông, ta có AD = ME.

- Đường chéo AM cắt DE tại O. Ta cần chứng minh AM và DE cắt nhau vuông góc. Ta có:

+ Tam giác ADO và tam giác MEO là hai tam giác vuông cân (AD vuông góc AB, ME vuông góc AC và AD = ME). Vì vậy, ta có AO = MO.

+ Tam giác AEO và tam giác MDO là hai tam giác vuông cân (AE vuông góc AC, MD vuông góc AB và AE = MD). Vì vậy, ta có EO = DO.

Từ đó, ta có AO = MO = EO = DO. Vậy, đường chéo AM cắt DE tại O và AM vuông góc DE.

Vậy, tứ giác ADME là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh AK vuông góc IC, ta cần chứng minh hai đường thẳng AK và IC cắt nhau vuông góc.

- Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc BC.

- Ta có HI = HA (theo đề bài), nên HI vuông góc HA.

- Ta có HK = HB (theo đề bài), nên HK vuông góc HB.

Vậy, ta có HI vuông góc HA và HK vuông góc HB.

Do đó, ta có AK vuông góc IC (vì AK là đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng HI, IC là đường thẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng HK).

Vậy, AK vuông góc IC.