Chứng minh ABEC là hình chữ nhật

a) Ta có M là trung điểm của AE, nên AM = ME. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM là đường cao của tam giác ABC. Do đó, AM cũng là đường cao của tam giác ABE. Vậy, AB ⊥ ME.

Tương tự, ta có MO là đường cao của tam giác ABC, nên MO cũng là đường cao của tam giác ACO. Vậy, AC ⊥ MO.

Vì AB ⊥ ME và AC ⊥ MO, nên AB || MO và AC || ME.

Do đó, ta có ABEC là hình chữ nhật.

b) Ta có CE = CK (theo định nghĩa của K).

Vì ABEC là hình chữ nhật (chứng minh ở câu a), nên AB || MO và AC || ME.

Vậy, AB || MO || CE và AC || ME || CK.

Do đó, ABCK là hình bình hành.

Ta có O là trung điểm của AC và K là trung điểm của CE, nên O là trung điểm của BK (vì O là trung điểm của AC và K là trung điểm của CE, nên O cũng là trung điểm của AK).

c) Ta có G là trung điểm của AK.

Vì AG là đường phân giác của tam giác ABC (vì M là trung điểm của BC), nên AG cắt MO tại điểm trung điểm của MO (ký hiệu là N).

Vì G là trung điểm của AK, nên GN cắt AM tại điểm trung điểm của AM (ký hiệu là P).

Vậy, AGCM là hình bình hành (vì AG || CM và AG = CM) và G là trung điểm của MP (vì G là trung điểm của AK và P là trung điểm của AM).