Để chứng minh rằng n là số lẻ khi và chỉ khi 5n + 3 là số chẵn, ta chia thành hai phần:

Phần 1: Nếu n là số lẻ, thì 5n + 3 là số chẵn.
Giả sử n là số lẻ, tức là n = 2k + 1 với k là một số nguyên.
Thay giá trị của n vào biểu thức 5n + 3:
5n + 3 = 5(2k + 1) + 3 = 10k + 5 + 3 = 10k + 8 = 2(5k + 4).
Vì 5k + 4 là một số nguyên, nên 5n + 3 chia hết cho 2, tức là là số chẵn.

Phần 2: Nếu 5n + 3 là số chẵn, thì n là số lẻ.
Giả sử 5n + 3 là số chẵn, tức là 5n + 3 = 2m với m là một số nguyên.
Ta có: 5n = 2m - 3.
Vì 2m - 3 là số lẻ, nên 5n cũng phải là số lẻ.
Giả sử n là số chẵn, tức là n = 2k với k là một số nguyên.
Thay giá trị của n vào biểu thức 5n:
5n = 5(2k) = 10k.
Vì 10k là số chẵn, nên n không thể là số chẵn.
Do đó, giả thiết n là số chẵn là sai.
Vậy n phải là số lẻ.

Từ cả hai phần trên, ta có thể kết luận rằng n là số lẻ khi và chỉ khi 5n + 3 là số chẵn.