Khi chia số tự nhiên a lần lượt cho 3 số: 3;5;7 thì được các số dư là 2;4;6

1. Để chứng minh rằng (a+1) chia hết cho 3, 5 và 7, ta sẽ sử dụng định lý dư của phép chia.

Theo định lý dư, khi chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0, ta có thể viết số tự nhiên đó dưới dạng thương và số dư. Với số tự nhiên a, khi chia cho 3, ta có thể viết a = 3k + 2, với k là một số tự nhiên. Tương tự, khi chia a cho 5, ta có a = 5m + 4, và khi chia a cho 7, ta có a = 7n + 6, với m và n là các số tự nhiên.

Giả sử (a+1) không chia hết cho 3, 5 hoặc 7. Khi đó, ta có thể viết (a+1) dưới dạng thương và số dư khi chia cho 3, 5 và 7. Ta có:

(a+1) = 3p + r1, với p là một số tự nhiên và r1 là số dư khi chia (a+1) cho 3.
(a+1) = 5q + r2, với q là một số tự nhiên và r2 là số dư khi chia (a+1) cho 5.
(a+1) = 7s + r3, với s là một số tự nhiên và r3 là số dư khi chia (a+1) cho 7.

Từ các phương trình trên, ta có:
a = (a+1) - 1 = 3p + r1 - 1 = 5q + r2 - 1 = 7s + r3 - 1.

Khi đó, ta có:
3k + 2 = 3p + r1 - 1,
5m + 4 = 5q + r2 - 1,
7n + 6 = 7s + r3 - 1.

Từ đó, ta suy ra:
3k - 3p = r1 - 3,
5m - 5q = r2 - 4,
7n - 7s = r3 - 5.

Vì r1, r2 và r3 lần lượt là số dư khi chia (a+1) cho 3, 5 và 7, nên chúng đều thuộc đoạn [0, 2]. Như vậy, r1 - 3, r2 - 4 và r3 - 5 thuộc đoạn [-3, -1]. Tuy nhiên, ta biết rằng 3k - 3p, 5m - 5q và 7n - 7s đều chia hết cho 3, 5 và 7. Vì vậy, r1 - 3, r2 - 4 và r3 - 5 cũng phải chia hết cho 3, 5 và 7.

Tuy nhiên, không có số nào trong đoạn [-3, -1] chia hết cho cả 3, 5 và 7. Điều này dẫn đến mâu thuẫn, vì giả sử ban đầu là sai. Vì vậy, giả sử đó là đúng và ta kết luận rằng (a+1) chia hết cho 3, 5 và 7.

2. Để tìm số a nhỏ nhất, ta sẽ tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Ta biết rằng a chia hết cho 3, 5 và 7 khi có số dư lần lượt là 2, 4 và 6. Điều này có nghĩa là a có thể được viết dưới dạng a = 3k + 2, a = 5m + 4 và a = 7n + 6.

Ta sẽ tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các phương trình trên bằng cách tìm bội chung nhỏ nhất của 3, 5 và 7.

Bội chung nhỏ nhất của 3, 5 và 7 là 105. Vì vậy, ta có thể viết a = 105t + r, với t là một số tự nhiên và r là số dư khi chia a cho 105.

Ta biết rằng r = 2 khi chia a cho 3, r = 4 khi chia a cho 5 và r = 6 khi chia a cho 7. Từ đó, ta có hệ phương trình:

105t + 2 = 3k + 2,
105t + 4 = 5m + 4,
105t + 6 = 7n + 6.

Giải hệ phương trình trên, ta tìm được t = 1, k = 35, m = 21 và n = 15.

Vậy số a nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện đã cho là a = 105t + r = 105 + 2 = 107.