Để chứng minh rằng A chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng tổng các số hạng của dãy số 2021^k chia hết cho 6.

Ta biết rằng mỗi số hạng trong dãy 2021^k đều chia hết cho 2021. Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng tổng các số hạng chia hết cho 6.

Ta có thể viết lại tổng A như sau:

A = 2021 + 2021^2 + 2021^3 + ... + 2021^2022
= 2021(1 + 2021 + 2021^2 + ... + 2021^2021)

Ta biết rằng 2021 chia hết cho 6 (2021 = 6 * 336 + 5), vì vậy ta chỉ cần chứng minh rằng tổng các số hạng trong ngoặc chia hết cho 6.

Ta sẽ chứng minh bằng cách sử dụng định lí Euler:

Định lí Euler: Nếu a và m là hai số nguyên tố cùng nhau, thì a^(phi(m)) ≡ 1 (mod m), trong đó phi(m) là hàm số Euler, đếm số nguyên tố cùng nhau với m trong khoảng từ 1 đến m.

Trong trường hợp này, a = 2021 và m = 6. Ta biết rằng 2021 và 6 là hai số nguyên tố cùng nhau, vì vậy áp dụng định lí Euler, ta có:

2021^(phi(6)) ≡ 1 (mod 6)

Vì 6 không có các số nguyên tố cùng nhau, nên phi(6) = 2. Ta có:

2021^2 ≡ 1 (mod 6)

Từ đó suy ra:

2021 ≡ 1 (mod 6)

Vậy ta có thể viết lại tổng A như sau:

A = 2021(1 + 2021 + 2021^2 + ... + 2021^2021)
≡ 1(1 + 1 + 1 + ... + 1) (mod 6)
≡ 1 * 2022 (mod 6)
≡ 2022 (mod 6)

Vì 2022 chia hết cho 6 (2022 = 6 * 337), nên ta kết luận rằng A chia hết cho 6.