Để chứng minh rằng trong 5 số nguyên bất kỳ luôn tồn tại ba số có tổng chia hết cho 3, ta sẽ sử dụng Định lý Dirichlet về phân phối các phần tử trong các lớp cùng dư của một số nguyên cho một số nguyên dương.

Định lý Dirichlet: Cho hai số nguyên a và b, và một số nguyên dương n. Khi đó, tồn tại số nguyên k sao cho a + kn chia hết cho b.

Giả sử có 5 số nguyên bất kỳ là a, b, c, d, e. Ta xét các phần tử này theo phần dư khi chia cho 3. Có 3 trường hợp có thể xảy ra:

1. Có ít nhất 3 số cùng chia hết cho 3: Trong trường hợp này, ta đã tìm được 3 số có tổng chia hết cho 3.

2. Có ít nhất 3 số cùng chia 1 dư cho 3: Giả sử có 3 số là a, b, c. Ta áp dụng Định lý Dirichlet cho a, b, c với b = 3 và n = 3. Khi đó, tồn tại số nguyên k sao cho a + 3k chia hết cho 3. Tương tự, tồn tại số nguyên l sao cho b + 3l chia hết cho 3 và tồn tại số nguyên m sao cho c + 3m chia hết cho 3. Khi đó, ta có:

(a + 3k) + (b + 3l) + (c + 3m) = (a + b + c) + 3(k + l + m)

Vì a + b + c chia 1 dư cho 3, nên (a + 3k) + (b + 3l) + (c + 3m) chia 1 dư cho 3. Do đó, ta đã tìm được 3 số có tổng chia hết cho 3.

3. Có ít nhất 3 số cùng chia 2 dư cho 3: Tương tự như trường hợp 2, ta áp dụng Định lý Dirichlet cho 3 số có dư 2 cho 3 và kết luận rằng tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3.

Vậy, trong 5 số nguyên bất kỳ luôn tồn tại ba số có tổng chia hết cho 3.