Cho tam giác ABC vuông tại A

a) Chứng minh tứ giác HIEK là hình chữ nhật:
Ta có AE = AB và BC || EI, suy ra tam giác ABE và tam giác EIC đồng dạng.
Do đó, ta có:
$\frac{AE}{AB} = \frac{EI}{IC}$
$\frac{AE}{AB} = \frac{HI}{HK}$
Vì AE = AB và HI = 1/4 HK, nên ta có:
$\frac{1}{AB} = \frac{1/4 HK}{HK}$
$AB = \frac{1}{4} HK$
Vậy tứ giác HIEK là hình chữ nhật.

Để tính diện tích tứ giác HIEK, ta cần biết chiều dài và chiều rộng của nó. Ta đã biết HK = 12cm và HI = 1/4 HK, suy ra HI = 3cm.
Vậy diện tích tứ giác HIEK là: S = HI * HK = 3cm * 12cm = 36cm^2.

b) Chứng minh AH = HK:
Ta có tứ giác HIEK là hình chữ nhật, suy ra HI || EK và HK || EI.
Do đó, ta có tam giác AHI và tam giác HKI đồng dạng.
Vì HI = 1/4 HK, nên ta có AH = 4 HK.
Vậy AH = HK.