Cho hình chữ nhật ABCD, AC cắt BD tại O . Gọi M là trung điểm cạnh AB BD ; cắt CM tại N . Qua A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CM tại K

a) Ta có:
- M là trung điểm của AB nên AM = MB.
- AK // BD (do đường thẳng AK song song với BD).
- CM là đường chéo của hình chữ nhật ABCD nên CM cắt BD tại O và làm góc vuông với BD.
Do đó, ta có:
∠AKM = ∠OMB (cùng là góc vuông)
∠AMK = ∠BMO (cùng là góc vuông)
Vậy tứ giác AKBM là tứ giác cân (hai cặp góc bằng nhau) và AK // BM (do đường thẳng AK song song với BD).
Từ đó, ta suy ra AKBN là hình bình hành (hai cặp cạnh bằng nhau và hai cặp đường chéo cắt nhau ở trung điểm).

b) Ta có:
- M là trung điểm của AB nên AM = MB.
- AK // BD (do đường thẳng AK song song với BD).
- CM là đường chéo của hình chữ nhật ABCD nên CM cắt BD tại O và làm góc vuông với BD.
- N là giao điểm của CM và AK.
Do đó, ta có:
∠AKM = ∠OMB (cùng là góc vuông)
∠AMK = ∠BMO (cùng là góc vuông)
Vậy tứ giác AKBM là tứ giác cân (hai cặp góc bằng nhau) và AK // BM (do đường thẳng AK song song với BD).
Từ đó, ta suy ra AM = MB = KN.
Vậy N là trung điểm của CK.

c) Ta có:
- CM là đường chéo của hình chữ nhật ABCD nên CM cắt BD tại O và làm góc vuông với BD.
- O là trung điểm của BD nên OB = OD.
- Qua O kẻ đường thẳng song song với CM cắt CD tại E.
Do đó, ta có:
∠OEC = ∠OCM (cùng là góc vuông)
∠OCE = ∠OMC (cùng là góc vuông)
Vậy tứ giác OCEM là tứ giác cân (hai cặp góc bằng nhau) và OE // CM (do đường thẳng OE song song với CM).
Từ đó, ta suy ra OE = EM.
Vậy N là trung điểm của CK.