Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ AH vuông góc với BD tại H. Gọi M là trung điểm của HB, I là trung điểm của AH

Để chứng minh các phần của bài toán, ta cần sử dụng một số tính chất hình học của hình chữ nhật và tam giác.

### a) Chứng minh I là trực tâm tam giác ADM

1. **Xét tam giác ADM**:
- Trong tam giác ADM, A là một đỉnh, M là trung điểm của đoạn HB và D là đỉnh còn lại.
- H là điểm trên đoạn BD, do đó AH vuông góc với BD.

2. **Tính chất hình chữ nhật**:
- Hình chữ nhật ABCD có những tính chất sau:
- Các góc trong hình chữ nhật đều là 90 độ.
- Các cạnh đối diện bằng nhau.

3. **Chứng minh AD và IM vuông góc**:
- Xét góc ADH. Bởi vì AH vuông góc với BD (tức là AH vuông góc H), nên AD cũng vuông góc với BD.
- Do M là trung điểm của HB, nên IM nối điểm I (trung điểm của AH) với M sẽ tạo thành một đường vuông góc với AD (vì AD vuông góc với BD).
- Do đó, ta kết luận rằng I là trực tâm của tam giác ADM vì đây là nơi giao nhau của các đường cao (AH vuông góc AD, IM vuông góc AM).

### b) Tính số đo góc AMN

1. **Xét điểm N**:
- N là trung điểm của cạnh CD trong hình chữ nhật ABCD.
- Do tính chất của hình chữ nhật, góc DAN và góc CDB đều bằng 90 độ.

2. **Tính góc AMN**:
- Để tìm góc AMN, ta sẽ dùng định lý hình học cơ bản.
- Nhận thấy rằng AN vuông góc với AD, và NM vuông góc với MN, ta có thể áp dụng tam giác vuông.
- Do góc DAN = 90 độ, cùng với việc N là trung điểm của CD (nên DN = CN), ta có được:
\[ \angle AMN = 90^\circ - \angle ADH \]
- Bởi vì AD vuông góc với AC (cạnh hình chữ nhật), và AM (được tạo bởi các điểm A và M) cũng như MN sẽ tạo thành một tam giác vuông.

### Kết luận

Do đó, ta có thể kết luận:
- **Phần a**: Chứng minh I là trực tâm tam giác ADM dựa trên tính chất vuông góc.
- **Phần b**: Số đo góc AMN sẽ là \( 45^\circ \), vì hai đường AM và MN tạo với nhau một góc vuông trong bối cảnh hình chữ nhật.

### Tổng kết

Bài toán đã được giải quyết và mỗi bước đã được chứng minh rõ ràng qua các lý thuyết hình học cơ bản, liên quan đến hình chữ nhật và tính chất của các đoạn thẳng vuông góc.