a) Để chứng minh BCNN(n, 37n+1) = 37n²+n, ta cần chứng minh rằng n và 37n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Giả sử n và 37n+1 không cùng nhau, tức là chúng có ước chung khác 1. Khi đó, tồn tại một số nguyên d > 1 sao cho d là ước chung của n và 37n+1.

Vì d là ước chung của n và 37n+1, nên d cũng là ước chung của (37n+1) - 37n = 1. Điều này chỉ có thể xảy ra khi d là ước chung của 1 và n. Nhưng ước chung của 1 và bất kỳ số nguyên nào khác 1 luôn bằng 1. Vì vậy, d = 1.

Điều này cho thấy n và 37n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau. Vì vậy, BCNN(n, 37n+1) = n * (37n+1) = 37n² + n.

b) Để chứng minh abc - cba chia hết cho 11, ta cần chứng minh rằng tổng các chữ số ở vị trí chẵn trừ tổng các chữ số ở vị trí lẻ của abc - cba chia hết cho 11.

abc - cba = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c).

Vì vậy, abc - cba chia hết cho 11 nếu và chỉ nếu a - c chia hết cho 11.

Vì a > c, nên a - c > 0. Điều này chỉ có thể xảy ra khi a - c = 11 hoặc a - c = 0.

Khi a - c = 11, ta có abc - cba = 99(a - c) = 99 * 11 = 1089, là một số chia hết cho 11.

Khi a - c = 0, ta có abc - cba = 99(a - c) = 99 * 0 = 0, cũng là một số chia hết cho 11.

Vì vậy, abc - cba chia hết cho 11 với mọi a > c; abc, cba là số tự nhiên.