a) Ta có:
- Góc BDC = 90° (do BD là đường cao của tam giác ABC)
- Góc BEC = 90° (do CE là đường cao của tam giác ABC)
- Góc BDE = Góc BCE (cùng là góc nhọn)
- Góc CED = Góc CBD (cùng là góc nhọn)

Do đó, tam giác BDE và tam giác CDE có 2 góc nhọn bằng nhau, nên chúng đồng dạng. Từ đó, ta có:

BD/BE = DE/EC

Vậy, ta có tỉ số bằng nhau giữa các cạnh của tam giác BDE và tam giác CDE. Do đó, theo định lý đường tròn nội tiếp tam giác, ta có B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

Để tìm tâm O của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta vẽ đường trung trực của đoạn thẳng BC, giao nhau tại O. Khi đó, O là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Ta có:
- Góc EKB = 90° (do EK vuông góc với BC)
- Góc EKA = Góc BAC (cùng là góc nhọn)

Do đó, ta có tỉ số bằng nhau giữa các cạnh của tam giác EKB và tam giác BAC. Từ đó, theo định lý đường tròn nội tiếp tam giác, ta có EK song song với AH.

c) Ta có:
- Góc AID = 90° (do AI là đường trung trực của BC)
- Góc AID = Góc ABD (cùng là góc nhọn)

Do đó, ta có tỉ số bằng nhau giữa các cạnh của tam giác AID và tam giác ABD. Từ đó, theo định lý đường tròn nội tiếp tam giác, ta có ID là tiếp tuyến của đường tròn (O).