a) Ta có E là trung điểm của AB và F là trung điểm của CD, suy ra EF song song với AB và CD. Vì AB và CD là hai cạnh đối nhau của hình bình hành ABCD, nên EF cũng song song với hai cạnh đối nhau này. Do đó, tứ giác AECF là hình bình hành.

b) Ta có AF là đường chéo của hình bình hành AECF, nên AF chia tứ giác AECF thành hai tam giác đồng dạng với tứ giác ban đầu. Từ đó, ta có:

$\frac{AM}{ME} = \frac{AF}{FC}$ và $\frac{AN}{NE} = \frac{BF}{FC}$

Do đó, $\frac{AM}{ME} = \frac{AN}{NE}$. Từ đó suy ra, tứ giác EMFN là hình bình hành.

c) Ta có tứ giác EMFN là hình bình hành, nên các đường chéo EM và FN cắt nhau tại một điểm O và chia nhau thành bằng nhau. Ta cần chứng minh AC, EF, MN đồng quy, tức là điểm O nằm trên đường thẳng AC.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác AEC và đường chéo FMN, ta có:

$\frac{AM}{ME} \cdot \frac{EN}{NC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

Vì tứ giác AECF là hình bình hành, nên $\frac{AM}{ME} = \frac{CF}{FA}$. Từ đó, ta có:

$\frac{EN}{NC} = 1$

Do đó, điểm O nằm trên đường thẳng AC. Vậy AC, EF, MN đồng quy.

d) Để tứ giác AECF là hình thoi, ta cần và đủ có các điều kiện sau:
- Hai đường chéo AF và EC cắt nhau tại giao điểm O và chia nhau thành bằng nhau.
- Hai đường chéo AF và EC vuông góc với nhau.