Cho tam giác ABC cân tại A đường vuông góc với BC tại B cắt đường vuông góc với AC tại C ở D. Vẽ BE vuông góc với CD tại Egọi M là giao điểm của AD và BE và EN vuông góc BD tai N. Chứng minh DE /DC=DM/DA. Chứng minh MN//AB

a) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC.
Gọi x = BD, y = DC. Khi đó, ta có BC = x + y.
Theo định lí Pythagoras trong tam giác vuông BCD, ta có:
BD^2 + CD^2 = BC^2
x^2 + y^2 = (x + y)^2
x^2 + y^2 = x^2 + 2xy + y^2
xy = 0
Vì x và y đều lớn hơn 0, nên ta có x = 0 hoặc y = 0.
Nếu x = 0, thì tam giác ABC sẽ là tam giác đều, mâu thuẫn với giả thiết tam giác cân tại A.
Vậy, ta có y = 0, tức là D là trung điểm của AC.
Do đó, ta có DE = DC và DM = DA.
Vậy, DE/DC = DM/DA.

b) Ta có DE/DC = DM/DA (theo phần a).
Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc BAC = góc BCA.
Góc BAC = góc BCD (do AB vuông góc với BC tại B).
Vậy, tam giác BCD cân tại D.
Do đó, góc BCD = góc CBD.
Vì BE vuông góc với CD, nên góc BCE = góc CBD.
Vậy, góc BCE = góc BCD.
Từ đó, ta có tam giác BCE cân tại B.
Vậy, góc CBE = góc CEB.
Mà góc CEB = góc CED (do BE vuông góc với CD).
Vậy, góc CBE = góc CED.
Từ đó, ta có tam giác CED cân tại C.
Vậy, góc CED = góc CDE.
Mà góc CDE = góc CDM (do DE // BC).
Vậy, góc CED = góc CDM.
Từ đó, ta có tam giác CDM cân tại C.
Vậy, góc CDM = góc CMD.
Vậy, ta có MN // AB (do góc CMD = góc BAC).

c) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên góc BAC = góc BCA.
Góc BAC = góc BCD (do AB vuông góc với BC tại B).
Vậy, tam giác BCD cân tại D.
Do đó, góc BCD = góc CBD.
Vì BE vuông góc với CD, nên góc BCE = góc CBD.
Vậy, góc BCE = góc BCD.
Từ đó, ta có tam giác BCE cân tại B.
Vậy, góc CBE = góc CEB.
Mà góc CEB = góc CED (do BE vuông góc với CD).
Vậy, góc CBE = góc CED.
Từ đó, ta có tam giác CED cân tại C.
Vậy, góc CED = góc CDE.
Mà góc CDE = góc CDM (do DE // BC).
Vậy, góc CED = góc CDM.
Từ đó, ta có tam giác CDM cân tại C.
Vậy, góc CDM = góc CMD.
Vậy, ta có ME = MB (do góc CMD = góc CDM).