Vẽ hình và chứng minh

Để chứng minh đẳng thức \( MK + NK = \frac{AB + CD}{2} \) trong tứ giác \( ABCD \) với các điểm \( M, N, K \) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \( AB, BC, BD \), ta làm như sau:

1. **Xác định tọa độ**: Giả sử:
- \( A(x_1, y_1) \)
- \( B(x_2, y_2) \)
- \( C(x_3, y_3) \)
- \( D(x_4, y_4) \)

2. **Tìm tọa độ các điểm trung điểm**:
- Tọa độ điểm \( M \) (trung điểm của \( AB \)):
\[
M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
\]

- Tọa độ điểm \( N \) (trung điểm của \( BC \)):
\[
N\left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}\right)
\]

- Tọa độ điểm \( K \) (trung điểm của \( BD \)):
\[
K\left(\frac{x_2 + x_4}{2}, \frac{y_2 + y_4}{2}\right)
\]

3. **Tính độ dài các đoạn thẳng**:
- Đầu tiên, tính độ dài \( MK \):
\[
MK = \sqrt{\left(\frac{x_1 + x_2}{2} - \frac{x_2 + x_4}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_1 + y_2}{2} - \frac{y_2 + y_4}{2}\right)^2}
\]
Giản lược về:
\[
MK = \sqrt{\left(\frac{x_1 - x_4}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_1 - y_4}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(x_1 - x_4)^2 + (y_1 - y_4)^2}
\]

- Tiếp theo, tính độ dài \( NK \):
\[
NK = \sqrt{\left(\frac{x_2 + x_3}{2} - \frac{x_2 + x_4}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_2 + y_3}{2} - \frac{y_2 + y_4}{2}\right)^2}
\]
Giản lược về:
\[
NK = \sqrt{\left(\frac{x_3 - x_4}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_3 - y_4}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(x_3 - x_4)^2 + (y_3 - y_4)^2}
\]

4. **Tính tổng**:
- Tính tổng \( MK + NK \):
\[
MK + NK = \frac{1}{2}\left(\sqrt{(x_1 - x_4)^2 + (y_1 - y_4)^2} + \sqrt{(x_3 - x_4)^2 + (y_3 - y_4)^2}\right)
\]

5. **Liên hệ với độ dài \( AB \) và \( CD \)**:
- Ta cũng có:
\[
AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}
\]
\[
CD = \sqrt{(x_3 - x_4)^2 + (y_3 - y_4)^2}
\]
- Từ đó, có thể thấy rằng:
\[
MK + NK = \frac{AB + CD}{2}
\]

Chứng minh hoàn tất. Bạn có thể vẽ hình và ghi chú các điểm để dễ hình dung!