Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các định lý về hình học không gian.

a) Để tìm giao điểm của đường thẳng AN và mặt cầu (SBC), ta cần tìm tọa độ của điểm N trên cạnh BC.

Gọi A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB), C(xC, yC, zC), D(xD, yD, zD), F(xF, yF, zF) là các tọa độ của các điểm A, B, C, D, F.

Vì M là điểm thuộc cạnh FA, nên tọa độ của M có thể viết dưới dạng M(xM, yM, zM) = (xF + t(xA - xF), yF + t(yA - yF), zF + t(zA - zF)), với t là một số thực.

Ta có điều kiện để M thuộc cạnh FA là 0 ≤ t ≤ 1.

Tương tự, ta có tọa độ của điểm N có thể viết dưới dạng N(xN, yN, zN) = (xN, yB + s(yC - yB), zB + s(zC - zB)), với s là một số thực.

Ta có điều kiện để N thuộc cạnh BC là 0 ≤ s ≤ 1.

Để tìm giao điểm của đường thẳng AN và mặt cầu (SBC), ta cần tìm tọa độ của điểm N sao cho N thuộc mặt cầu (SBC) và AN vuông góc với mặt cầu (SBC).

Điều kiện để N thuộc mặt cầu (SBC) là (xN - xS)² + (yN - yS)² + (zN - zS)² = r², với S(xS, yS, zS) là tọa độ của tâm mặt cầu (SBC) và r là bán kính của mặt cầu (SBC).

Điều kiện để AN vuông góc với mặt cầu (SBC) là vector AN vuông góc với vector pháp tuyến của mặt cầu (SBC). Vector pháp tuyến của mặt cầu (SBC) có thể tính bằng tích vector của hai vector chỉ phương của hai cạnh của tam giác SBC.

Từ đó, ta có thể tìm được tọa độ của điểm N và giao điểm của đường thẳng AN và mặt cầu (SBC).

b) Để tìm giao điểm của đường thẳng BM và mặt (SDC), ta cần tìm tọa độ của điểm M trên cạnh FA.

Tương tự như trên, ta có tọa độ của điểm M có thể viết dưới dạng M(xM, yM, zM) = (xF + t(xA - xF), yF + t(yA - yF), zF + t(zA - zF)), với t là một số thực.

Ta có điều kiện để M thuộc cạnh FA là 0 ≤ t ≤ 1.

Để tìm giao điểm của đường thẳng BM và mặt (SDC), ta cần tìm tọa độ của điểm M sao cho M thuộc mặt (SDC) và BM vuông góc với mặt (SDC).

Điều kiện để M thuộc mặt (SDC) là (xM - xS)² + (yM - yS)² + (zM - zS)² = 0, với S(xS, yS, zS) là tọa độ của một điểm thuộc mặt (SDC).

Điều kiện để BM vuông góc với mặt (SDC) là vector BM vuông góc với vector pháp tuyến của mặt (SDC). Vector pháp tuyến của mặt (SDC) có thể tính bằng tích vector của hai vector chỉ phương của hai cạnh của tam giác SDC.

Từ đó, ta có thể tìm được tọa độ của điểm M và giao điểm của đường thẳng BM và mặt (SDC).