Cho tam giác ABC, lấy M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD

a) Ta có MA = MD (điều kiện đề bài), AM = BM (trung điểm của BC) và ∠AMB = ∠DMC (cùng là góc nhọn). Vậy theo định lý cạnh-góc-cạnh, ta có ΔAMB = ΔDMC.

b) Ta có ∠MAB = ∠MDC (cùng là góc nhọn) và ∠AMB = ∠DMC (chứng minh ở câu a). Vậy theo định lý góc-góc-góc, ta có ∠BAC = ∠BDC. Do đó, AB // CD. Tương tự, ta có ∠ACB = ∠DCA, nên AC // BD.

c) Ta có AH // DK (do AH và DK đều song song với BC) và AH = DK (cùng là đoạn thẳng cắt BC). Vậy theo định lý cạnh-cạnh-cạnh, ta có ΔAHB = ΔDKC. Do đó, BH = CK.

d) Ta có I là trung điểm của AC và E là trung điểm của BE. Vậy theo định lý trung điểm, ta có CI // AE và CI = 1/2 AE. Tương tự, ta có CE // AI và CE = 1/2 AI. Vậy theo định lý cạnh-cạnh-cạnh, ta có ΔCEI = ΔACI. Do đó, C là trung điểm của DE.