Cho (O) đường kính CD. Lấy điểm E ∈ (O) với E không trùng C và D. Gọi I là trung điểm CE. Vẽ tiếp tuyến (O) tại điểm E cắt tia OI tại F. Vẽ EM ⊥ CD tại M, vẽ DN ⊥ EF tại N. Chứng minh:

Để chứng minh a), ta sẽ sử dụng tính chất của đường kính và tiếp tuyến.

Vì E là điểm trên đường tròn (O), nên ta có CE là đường kính của đường tròn (O). Vì I là trung điểm của CE, nên ta có CI = IE.

Vì tiếp tuyến (O) tại điểm E cắt tia OI tại F, nên ta có EF là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và đường tròn (E, EI).

Vì EM ⊥ CD tại M, nên ta có EM là đường cao của tam giác ECD. Vì I là trung điểm CE, nên ta có IM là đường cao của tam giác ECI. Vì CI = IE, nên ta có IM = ME.

Vì DN ⊥ EF tại N, nên ta có DN là đường cao của tam giác DEF. Vì EF là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và đường tròn (E, EI), nên ta có DN là đường cao của tam giác DEF.

Vì IM = ME và DN là đường cao của tam giác DEF, nên ta có IM // DN.

Vì CI = IE và IM // DN, nên ta có tam giác CIE và tam giác MIN là hai tam giác đồng dạng (có hai góc bằng nhau).

Vì tam giác CIE và tam giác MIN là hai tam giác đồng dạng, nên ta có tỉ số đồng dạng: CI/MI = IE/EN.

Vì CI = IE và IM = ME, nên ta có CI/MI = IE/ME.

Từ đó, ta suy ra IE/ME = IE/EN, hay EN = ME.

Vì EM ⊥ CD tại M, nên ta có ME ⊥ CD.

Vì EN = ME và ME ⊥ CD, nên ta có EN ⊥ CD.

Vì OE là đường kính của đường tròn (O), nên ta có OE ⊥ CD.

Vì EN ⊥ CD và OE ⊥ CD, nên ta có OE // EN.

Vậy, ta đã chứng minh được a).

Để chứng minh b), ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và góc nội tiếp.

Vì EF là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và đường tròn (E, EI), nên ta có góc EFO = góc EIO.

Vì F là điểm trên tiếp tuyến (O) tại điểm E, nên ta có góc EFO = góc ECO.

Vì góc EFO = góc EIO và góc EFO = góc ECO, nên ta có góc EIO = góc ECO.

Vì góc EIO = góc ECO, nên ta có góc EIO là góc nội tiếp của đường tròn (O).

Vì F là điểm trên tiếp tuyến (O) tại điểm E, nên ta có góc EFO là góc nội tiếp của đường tròn (O).

Vậy, ta đã chứng minh được b).

Để chứng minh c), ta sẽ sử dụng tính chất của đường cao và đường tròn ngoại tiếp.

Vì EM ⊥ CD tại M, nên ta có EM là đường cao của tam giác ECD.

Vì DN ⊥ EF tại N, nên ta có DN là đường cao của tam giác DEF.

Vì EM là đường cao của tam giác ECD và DN là đường cao của tam giác DEF, nên ta có EM ⊥ CD và DN ⊥ EF.

Vì EM ⊥ CD và DN ⊥ EF, nên ta có EM // DN (do hai đường cao cắt nhau tạo thành hai đường bằng nhau).

Vì EM // DN và EN = ME, nên ta có tam giác ENM là tam giác vuông cân.

Vì tam giác ENM là tam giác vuông cân, nên ta có EN2 = EM.MN.

Vì EM ⊥ CD và MN là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF, nên ta có EM = MN.

Vì EM = MN, nên ta có EN2 = EM.MN = EM2.

Vì EN2 = EM2, nên ta có EN2 = MC.MD.

Vậy, ta đã chứng minh được c).

Vậy, ta đã chứng minh được a), b), c).