Số hs thcs khi xếp hàng 10 em thì thừa 8 em xếp hàng 12em thì thừa 10em. Khi xếp hàng 17em thì vừa đủ tính số hs của trường biết số hs là một số tự nhiên có chữ số nhỏ hơn 250

Giả sử số học sinh của trường là x.

Theo đề bài, khi xếp hàng 10 em thì thừa 8 em, tức là số học sinh chia hết cho 10 và số dư là 8. Ta có phương trình:

x ≡ 8 (mod 10)

Tương tự, khi xếp hàng 12 em thì thừa 10 em, tức là số học sinh chia hết cho 12 và số dư là 10. Ta có phương trình:

x ≡ 10 (mod 12)

Cuối cùng, khi xếp hàng 17 em thì vừa đủ, tức là số học sinh chia hết cho 17. Ta có phương trình:

x ≡ 0 (mod 17)

Để tìm số học sinh thỏa mãn các điều kiện trên, ta sẽ giải hệ phương trình tuyến tính:

x ≡ 8 (mod 10)
x ≡ 10 (mod 12)
x ≡ 0 (mod 17)

Ta sẽ sử dụng định lý Trung Hoa để giải hệ phương trình này.

Đầu tiên, ta tìm một số nguyên tố p1 sao cho p1 là ước số chung của 10 và 12. Ta thấy 2 là một ước số chung của cả 10 và 12, nên ta chọn p1 = 2.

Tiếp theo, ta tìm một số nguyên tố p2 sao cho p2 là ước số chung của 10 và 17. Ta thấy 5 là một ước số chung của cả 10 và 17, nên ta chọn p2 = 5.

Cuối cùng, ta tìm một số nguyên tố p3 sao cho p3 là ước số chung của 12 và 17. Ta thấy 3 là một ước số chung của cả 12 và 17, nên ta chọn p3 = 3.

Giờ ta sẽ giải từng phương trình theo từng số nguyên tố:

Đối với phương trình x ≡ 8 (mod 10), ta có p1 = 2. Ta tìm số nguyên tố q1 sao cho q1 * 2 ≡ 1 (mod 10). Ta thấy q1 = 3 là thỏa mãn, vì 3 * 2 ≡ 6 ≡ 1 (mod 10). Vậy x ≡ 8 * 3 ≡ 24 (mod 10).

Đối với phương trình x ≡ 10 (mod 12), ta có p2 = 5. Ta tìm số nguyên tố q2 sao cho q2 * 5 ≡ 1 (mod 12). Ta thấy q2 = 5 là thỏa mãn, vì 5 * 5 ≡ 25 ≡ 1 (mod 12). Vậy x ≡ 10 * 5 ≡ 50 (mod 12).

Đối với phương trình x ≡ 0 (mod 17), ta có p3 = 3. Ta tìm số nguyên tố q3 sao cho q3 * 3 ≡ 1 (mod 17). Ta thấy q3 = 6 là thỏa mãn, vì 6 * 3 ≡ 18 ≡ 1 (mod 17). Vậy x ≡ 0 * 6 ≡ 0 (mod 17).

Giờ ta sẽ tính x bằng cách sử dụng định lý Trung Hoa:

x ≡ (24 * 12 * 17 * 8) + (50 * 10 * 17 * 10) + (0 * 10 * 12 * 12) (mod 10 * 12 * 17)
≡ 48960 (mod 2040)
≡ 240 (mod 2040)

Vậy số học sinh của trường là 240.