Để giải các bài toán này, chúng ta có thể sử dụng các định lý và quy tắc trong hình học tam giác. Dưới đây là cách giải từng bài toán:

3. Chứng minh rằng BC > AC > AM trong tam giác ABC cân tại A và B = 50°.

- Vì tam giác ABC cân tại A nên AC = AB.
- Vì tam giác ABC cân tại B nên BC = BA.
- Vì B = 50° nên A = 180° - 2B = 80°.
- Vì A = 80° và B = 50° nên C = 180° - A - B = 50°.
- Vì A = 80° và C = 50° nên tam giác ABC là tam giác cân tại A.
- Vì tam giác ABC cân tại A nên AM là đường trung bình của tam giác ABC.
- Vì AM là đường trung bình của tam giác ABC nên AM < AC và AM < AB.
- Vì AM < AC và AM < AB nên BC > AC > AM.

4. Chứng minh rằng góc A tù trong tam giác ABC, với M là trung điểm BC và BC > 2AM.

- Vì M là trung điểm BC nên BM = MC.
- Vì BC > 2AM nên BM > AM.
- Vì BM = MC và BM > AM nên MC > AM.
- Vì MC > AM nên góc A tù.

5. Chứng minh rằng AB // CE và MAC < MAB trong tam giác ABC, với AB < AC và M là trung điểm BC.

- Vì M là trung điểm BC nên BM = MC.
- Vì ME = MA nên tam giác MEC cân tại M.
- Vì tam giác MEC cân tại M nên góc MCE = MEC.
- Vì BM = MC và góc MCE = MEC nên tam giác BMC là tam giác đều.
- Vì tam giác BMC là tam giác đều nên góc MBC = MCB = 60°.
- Vì tam giác BMC là tam giác đều nên góc MAB = MBC = 60°.
- Vì góc MAB = 60° nên góc MAC < MAB.

6. a) Chứng minh rằng AC > AB trong tam giác ABC, với AH vuông góc BC và D là giao điểm của tia phân giác góc A và BC.

- Vì AH vuông góc BC nên tam giác AHB là tam giác vuông.
- Vì tam giác AHB là tam giác vuông nên AB < AH.
- Vì D là giao điểm của tia phân giác góc A và BC nên BD = DC.
- Vì tam giác AHB là tam giác vuông và BD = DC nên AB < AC.

6. b) Tìm điều kiện các góc A, B, C để AB < AD < AC trong tam giác ABC, với AH vuông góc BC và D là giao điểm của tia phân giác góc A và BC.

- Vì AH vuông góc BC nên tam giác AHB là tam giác vuông.
- Vì tam giác AHB là tam giác vuông nên AB < AH.
- Vì D là giao điểm của tia phân giác góc A và BC nên BD = DC.
- Vì tam giác AHB là tam giác vuông và BD = DC nên AB < AC.
- Vì AB < AC nên AB < AD < AC khi và chỉ khi góc A tù.

7. a) Chứng minh rằng BD = DE < DC trong tam giác ABC, với AB < AC và D là giao điểm của tia phân giác góc A và BC.

- Vì AB < AC nên góc B < góc C.
- Vì D là giao điểm của tia phân giác góc A và BC nên góc BDA = góc CDA.
- Vì góc BDA = góc CDA và góc B < góc C nên BD = DE < DC.

7. b) Chứng minh rằng BE vuông góc AD và BE < BC trong tam giác ABC, với AB < AC và D là giao điểm của tia phân giác góc A và BC.

- Vì AB < AC nên góc B < góc C.
- Vì D là giao điểm của tia phân giác góc A và BC nên góc BDA = góc CDA.
- Vì góc BDA = góc CDA và góc B < góc C nên BD = DE < DC.
- Vì BD = DE < DC nên góc BDE < góc CDE.
- Vì góc BDE < góc CDE nên BE vuông góc AD.
- Vì BD = DE < DC nên BE < BC.

Hy vọng những giải thích trên có thể giúp bạn hiểu và giải quyết các bài toán này.