Để tính diện tích tam giác AIN và BIM, ta cần biết độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Gọi x là độ dài cạnh BC, y là độ dài cạnh AB và z là độ dài cạnh AC.

Ta có hệ sau:
- Diện tích tam giác ABC = 81 cm^2
- CI = IB
- AM = 1/3 AB
- CN = 2/3 AC

Theo công thức diện tích tam giác ABC:
81 = (1/2) * x * y

Theo định lý Ptolemy trong tam giác ABC:
CI * AB + CN * AB = AC * IB
CI * y + CN * y = z * (x - CI)
y = z * (x - CI) / (CI + CN)

Theo định lý Pythagoras trong tam giác ABC:
x^2 = y^2 + z^2

Từ các phương trình trên, ta có thể giải hệ phương trình để tìm các giá trị của x, y và z.

Sau khi tìm được các giá trị của x, y và z, ta có thể tính diện tích tam giác AIN và BIM theo công thức diện tích tam giác:

Diện tích tam giác AIN = (1/2) * AI * AN * sin(A)
Diện tích tam giác BIM = (1/2) * BI * BM * sin(B)

Trong đó, AI, AN, BI, BM là độ dài các cạnh của tam giác AIN và BIM, A và B là các góc tại các đỉnh A và B của tam giác ABC.

Tuy nhiên, để tính chính xác diện tích tam giác AIN và BIM, cần biết thêm giá trị của các góc A và B trong tam giác ABC.