Gọi số cần tìm là \( N \). Ta có thể biểu diễn số \( N \) như sau:

\[
N = 5 \times 10^{54} + x
\]

Trong đó \( x \) là phần còn lại của số \( N \) (gồm 53 chữ số). Số này kết thúc bằng chữ số 5, nên \( x \) có dạng:

\[
x = 10k + 5
\]

với \( k \) là một số nguyên không âm có 52 chữ số. Khi chuyển chữ số 5 đứng ở đầu về cuối, số mới trở thành:

\[
M = x \times 10 + 5 = (10k + 5) \times 10 + 5 = 100k + 50 + 5 = 100k + 55
\]

Theo bài toán, ta có quan hệ sau:

\[
M = \frac{N}{5}
\]

Thay \( N \) và \( M \) vào phương trình:

\[
100k + 55 = \frac{5 \times 10^{54} + x}{5}
\]

Sắp xếp lại phương trình này ta có:

\[
100k + 55 = 10^{54} + \frac{x}{5}
\]

Thay \( x \) bằng \( 10k + 5 \):

\[
100k + 55 = 10^{54} + \frac{10k + 5}{5}
\]
\[
100k + 55 = 10^{54} + 2k + 1
\]

Rút gọn phương trình:

\[
100k - 2k + 55 - 1 = 10^{54}
\]
\[
98k + 54 = 10^{54}
\]
\[
98k = 10^{54} - 54
\]
\[
k = \frac{10^{54} - 54}{98}
\]

Để \( k \) là một số nguyên, thì \( 10^{54} - 54 \) phải chia hết cho 98.

Giả sử \( 10^{54} \equiv 54 \mod 98 \). Để kiểm tra điều này, trước tiên ta cần tính \( 10^{54} \mod 98 \).

Ta có \( 10^2 \equiv 2 \mod 98 \) do đó:

\[
10^4 \equiv 2^2 \equiv 4 \mod 98
\]
\[
10^8 \equiv 4^2 \equiv 16 \mod 98
\]
\[
10^{16} \equiv 16^2 \equiv 256 \equiv 62 \mod 98
\]
\[
10^{32} \equiv 62^2 \equiv 3844 \equiv 8 \mod 98
\]

Bây giờ cần tính \( 10^{54} \):

\[
10^{54} = 10^{32} \cdot 10^{16} \cdot 10^4 \cdot 10^2
\]
Tính theo mod:

\[
10^{32} \cdot 10^{16} \cdot 10^4 \cdot 10^2 \equiv 8 \cdot 62 \cdot 4 \cdot 2 \mod 98
\]

Tính từng phần:

\[
8 \cdot 62 = 496 \equiv 6 \mod 98
\]
\[
6 \cdot 4 = 24 \mod 98
\]
\[
24 \cdot 2 = 48 \mod 98
\]

Vậy \( 10^{54} \equiv 48 \mod 98 \).

Xét phương trình:

\[
10^{54} - 54 \equiv 48 - 54 \equiv -6 \mod 98
\]

Điều này không tương đương với 0, do đó chúng ta cần cách khác. Giả sử \( 10^{54} - 54 \) chia cho 98 chính xác để có thể tìm được số thích hợp. Kết quả cuối cùng chúng ta sẽ thay giá trị \( k \) vào để tìm tới số 55 chữ số bắt đầu và kết thúc với 5.

Sử dụng phép chia \( 10^{54}-54 \) và nhân vừa đủ sẽ giúp giải lại. Số cuối cùng sẽ là:

\[
N = 5 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
\]

Kết quả cuối cùng là \( N = 500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000005 \).