Để chứng minh HA = HE, ta sẽ sử dụng đẳng thức Pythagoras trong tam giác vuông ABC.

Gọi x = AB và y = AC. Ta có:

AH = √(AB^2 - BH^2) (1)
HE = √(DE^2 + DH^2) (2)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên BH = CH = x (cạnh huyền của tam giác vuông ABC). Do đó, từ (1), ta có:

AH = √(AB^2 - x^2) (3)

Vì AD = AB, nên ta có:

AD = x (4)

Vì tam giác ADE vuông tại E, ta có:

DE = √(AD^2 - AE^2) (5)

Từ (4) và (5), ta có:

DE = √(x^2 - AE^2) (6)

Vì tam giác AHE vuông tại H, ta có:

HE = √(AH^2 + AE^2) (7)

Từ (3), (6) và (7), ta có:

HE = √((AB^2 - x^2) + (x^2 - AE^2))
= √(AB^2 - AE^2)
= √(AD^2 - AE^2)
= DE

Vậy, ta đã chứng minh HA = HE.