Đa thức f(x) khi chia cho x+1 dư -1

Gọi đa thức dư cần tìm là g(x). Ta có:

f(x) = (x+1)(x^2+1)q(x) + g(x)

Với q(x) là đa thức thương khi f(x) chia cho (x+1)(x^2+1).

Theo giả thiết, khi chia f(x) cho x+1, ta được dư -1. Điều này có nghĩa là f(-1) = -1.

Ta có: f(-1) = (-1+1)(-1^2+1)q(-1) + g(-1) = 0*q(-1) + g(-1) = g(-1)

Vậy g(-1) = -1.

Tiếp theo, khi chia f(x) cho x^2+1, ta được dư 3x. Điều này có nghĩa là f(i) = 3i, với i là số phức biểu diễn số thực x.

Ta có: f(i) = (i+1)(i^2+1)q(i) + g(i) = (i+1)(-1+1)q(i) + g(i) = 0*q(i) + g(i) = g(i)

Vậy g(i) = 3i.

Từ hai điều kiện trên, ta có hệ phương trình:

g(-1) = -1
g(i) = 3i

Để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp đa thức nội suy.

Ta có thể xây dựng đa thức g(x) như sau:

g(x) = A(x+1)(x^2+1) + B(x+1) + C(x^2+1)

Với A, B, C là các hệ số cần tìm.

Đặt x = -1, ta có:

g(-1) = A(0)(2) + B(0) + C(2) = 2C = -1

Vậy C = -1/2.

Đặt x = i, ta có:

g(i) = A(i+1)(-1+1) + B(i+1) + C(-1+1) = 2B(i+1) = 3i

Vậy B = 3i/(2(i+1)) = 3i/(2i+2) = 3i/2(i+1)

Đặt x = 0, ta có:

g(0) = A(1)(1) + B(1) + C(1) = A + B + C = 0

Vậy A = -B - C = -3i/2(i+1) + 1/2 = (-3i + i + 1)/(2(i+1)) = (-2i + 1)/(2(i+1))

Vậy đa thức dư g(x) khi f(x) chia cho (x+1)(x^2+1) là:

g(x) = (-2i + 1)/(2(i+1))(x+1)(x^2+1) + 3i/(2(i+1))(x+1) - 1/2(x^2+1)