TH1: {S(n)=1S(n+1)=87{S(n)=1S(n+1)=87​

 Vì S(n)=1S(n)=1 nên n=100...00n=100...00, do đó n+1=100...01n+1=100...01 nên S(n+1)=2S(n+1)=2, mâu thuẫn.

 TH2: {S(n)=87S(n+1)=1{S(n)=87S(n+1)=1​

 Vì S(n+1)=1S(n+1)=1 nên n+1=100...00n+1=100...00, do đó n=999...99n=999...99 chia hết cho 9, dẫn đến S(n)S(n)⋮9, mâu thuẫn với S(n)=87S(n)=87

Vì S(n)=3S(n)=3 nên nn⋮3 ⇒n+1⇒n+1 chia 3 dư 1 ⇒S(n+1)⇒S(n+1) chia 3 dư 1. Thế nhưng 29 chia 3 dư 2, vô lý.

 TH4: {S(n)=29S(n+1)=3{S(n)=29S(n+1)=3​ . Ta lại xét các TH:

   TH4.1: n+1=10...010...01n+1=10...010...01 hoặc 200...01200...01 hoặc 100...2100...2. Khi đó trong tất cả các TH thì ta đều có S(n)=2S(n)=2, không thỏa mãn.

   TH4.2: n+1=10...010...010...0n+1=10...010...010...0 hoặc 200...0100...0200...0100...0 hoặc 100...020...0100...020...0 hoặc 300...00300...00. Khi đó trong tất cả các TH thì ta đều cóS(n)=2+9m(m∈N)S(n)=2+9m(m∈N) với m là số chữ số 9 có trong n. Để chọn được số nhỏ nhất, ta chỉ việc lược bỏ tất cả các số 0 ở giữa và cho m=3m=3 để có S(n)=29S(n)=29. Vậy, ta tìm được n=11999n=11999 (thỏa mãn)

 Vậy, số cần tìm là 11999.

 TH3: {S(n)=3S(n+1)=29{S(n)=3S(n+1)=29​