Cho tam giác đều ABC có đường cao BH

Ta có tam giác ABC đều nên ta có:
CE = 1/3 CA = 1/3 BC = BD

Vậy tam giác BCD cũng là tam giác đều.

Gọi M là trung điểm của BC, ta có BM = MC = 1/2 BC.

Khi đó, ta có tam giác BMD là tam giác vuông cân tại M, nên BM = MD.

Ta có tam giác BDI và tam giác BDA đồng dạng (có cạnh chung BD và góc giữa BDI và BDA bằng nhau vì BD là đường cao của tam giác ABC), nên ta có:
BD^2 = DI × DA

Gọi N là trung điểm của AC, ta có tam giác ANC cũng là tam giác vuông cân tại N, nên AN = NC.

Gọi G là giao điểm của AC và BD, ta có BG song song với AC (vì BG và AC đều vuông góc với BD), nên ta có BG cũng song song với AN.

Khi đó, ta có tam giác BGN và tam giác ANC đồng dạng, nên ta có:
BG/BN = AN/NC
=> BG = 2/3 AN = 2/3 AC

Vậy ta có tam giác BKG cũng là tam giác đều.

Gọi x là số đo góc CAK, ta có:
x = 60°

Vậy ta đã chứng minh được BD^2 = DI × DA và số đo góc CAK là 60°.