a) Ta có:
AH^2 + HC^2 = AC^2
AH^2 + (BC - BH)^2 = AC^2
AH^2 + (BC - AH)^2 = AC^2
AH^2 + BC^2 - 2BC.AH + AH^2 = AC^2
2AH^2 + BC^2 - 2BC.AH = AC^2
2AH^2 = AC^2 - BC^2 + 2BC.AH
2AH^2 = 12^2 - 9^2 + 2*9*AH
2AH^2 = 144 - 81 + 18AH
2AH^2 = 63 + 18AH
18AH - 2AH^2 = 63
2AH(9 - AH) = 63
AH(9 - AH) = 31.5
AH^2 - 9AH + 31.5 = 0
Giải phương trình ta được AH = 3 hoặc AH = 6
Vậy cạnh BC có độ dài là 6cm.

b) Ta có:
Tam giác HAC đồng dạng với tam giác ABC (góc A và góc C cùng nằm trong cùng một đường thẳng và góc HAC = góc BAC vì đề bài cho tam giác ABC vuông tại A).
Do đó, ta có tỉ số đồng dạng:
AC/AB = HC/BC
12/9 = HC/6
4/3 = HC/6
HC = 8
Vậy ta có: AC^2 = HC.BC
12^2 = 8*6
144 = 48
144 = 144
Đẳng thức được chứng minh.