Cho hàm số y = x² và y = x + m ( m là tham số )

a) Để tìm m sao cho đồ thị của y=x² và y=x+m có hai giáo điểm phân biệt A và B, ta cần giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
y=x^2 \\
y=x+m
\end{cases}
\]

Thay y=x^2 vào phương trình thứ hai ta được:
\[
x^2=x+m \Rightarrow x^2-x-m=0
\]

Đây là phương trình bậc hai, ta giải phương trình này bằng cách áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\times1\times(-m)}}{2\times1}=\frac{1\pm\sqrt{1+4m}}{2}
\]

Vậy ta có hai giải pháp cho x: \(x_1=\frac{1+\sqrt{1+4m}}{2}\) và \(x_2=\frac{1-\sqrt{1+4m}}{2}\).

Do đồ thị của y=x² và y=x+m có hai giáo điểm phân biệt nên phương trình trên phải có hai nghiệm phân biệt, tức là \(1+4m>0\). Ta có:
\[
1+4m>0 \Rightarrow m>-\frac{1}{4}
\]

Vậy m phải lớn hơn \(-\frac{1}{4}\) để đồ thị của y=x² và y=x+m có hai giáo điểm phân biệt.

b) Để tìm phương trình đường thẳng song song với y=x+m và tiếp xúc với y=x², ta cần tìm điểm tiếp xúc giữa đường thẳng y=x+m và đồ thị y=x².

Để hai đường thẳng song song, hệ số góc của chúng phải bằng nhau. Hệ số góc của đường thẳng y=x+m là 1, vậy hệ số góc của đường thẳng tiếp xúc với y=x² cũng phải là 1.

Đạo hàm của y=x² là y'=2x. Để tìm điểm tiếp xúc, ta giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
y=x+m \\
y'=2x
\end{cases}
\]

Thay y=x+m vào phương trình thứ hai ta được:
\[
x+m=2x \Rightarrow x=m
\]

Vậy điểm tiếp xúc là (m, m). Phương trình đường thẳng qua điểm tiếp xúc và có hệ số góc bằng 1 là:
\[
y=m(x-m)+m \Rightarrow y=xm
\]

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y=xm.