a) Ta có:
DE² + EF² = 8² + 10² = 64 + 100 = 164
DF² = 6² = 36
Vậy ta thấy rằng DE² + EF² > DF², suy ra tam giác DEF là tam giác nhọn.
Nếu tam giác nhọn có một góc bằng 90 độ thì tam giác đó là tam giác vuông. Vậy ta cần chứng minh được một trong các góc của tam giác DEF bằng 90 độ.
Gọi G là trung điểm của EF. Ta có:
EG = FG = 5cm
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác EGF ta có:
EG² + GF² = EF²
5² + 5² = 10²
25 + 25 = 100
50 ≠ 100
Vậy tam giác DEF không phải là tam giác vuông.

b) Ta có:
MN vuông góc với EF (do MN song song với DE và EF song song với DF)
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác DMN ta có:
DM² + MN² = DN²
DM² + MN² = 8²
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác FMN ta có:
MF² + MN² = FN²
MF² + MN² = 6²
So sánh DM và MF:
DN² - FN² = DM² - MF²
8² - 6² = DM² - MF²
64 - 36 = DM² - MF²
28 = DM² - MF²
Vậy DM > MF.

c) Ta có:
P là trung điểm của DN nên DP = PN
Q là trung điểm của IF nên FQ = QI
Ta cần chứng minh P, M, Q thẳng hàng:
DP = PN
FQ = QI
Ta thấy rằng DP + PF = DF
PN + NF = PF
Vậy ta có P, M, Q thẳng hàng.